A dica não poderia ser mais simples: passe o antitranspirante antes de dormir. Ao contrário do que você pensa, ele não vai sair quando você tomar banho no dia seguinte.
O antitranspirante vai ~entupindo~ os canais do corpo, impedindo que a umidade escape. Fazendo a aplicação durante a noite, você dá tempo para que o produto atue corretamente.
Se o antitranspirante se fixar corretamente, ele pode durar até 24 horas, mesmo que você tome banho em algum momento durante esse período.
O problema em aplicar o produto durante a manhã é que o seu corpo tem mais chances de suar antes que o antitranspirante tenha a chance de fazer o seu trabalho, dai você vai se ver transpirando pelo resto do dia.